Родился Михаил Побызаков 3 июля 1918 года в Хакасии — в селе Усть-Есь Аскизского района. После окончания горнопромышленного училища работал электрослесарем на одной из шахт Черногорска.
В 1939 был призван в ряды Красной Армии. Служил на Дальнем Востоке. В 1941 направлен на фронт — в 9-й кавалерийский полк 3-й кавалерийской дивизии 2-го кавалерийского корпуса. Воевал на Западном, Центральном, Брянском и 1-м Белорусском фронтах. Участвовал в обороне Москвы, Курской битве, в освобождении Белоруссии, Висло-Одерской, Восточно-Померанской и Берлинской наступательных операциях.
За проявленные мужество и героизм был награжден орденами Отечественной войны I-й и II-й степени, Славы III-й и II-й степени, Красной Звезды и медалями «За отвагу», «За взятие Берлина» и другими. Его родной 9-й полк стал к концу войны гвардейским Сед- лецким Краснознаменным кавалерийским полком. Почетного наименования «Седлецкий» он был удостоен за освобождение белорусского города Седлец. 3-я дивизия стала гвардейской Мозырской Краснознаменной ордена Суворова II-й степени кавалерийской дивизией. Почетного наименования «Мозырская» удостоена за освобождение белорусского города Мозырь. А 2-й корпус стал гвардейским Померанским Краснознаменным ордена Суворова II-й степени кавалерийским корпусом. Почетного наименования «Померанский» он был удостоен за боевые заслуги в Восточно-Померанской наступательной операции. В составе этих удостоенных высоких наград воинских соединений наш отважный земляк Михаил Побызаков прошел путь от Москвы до Берлина.
Вот что писал командир 9-го гвардейского Седлецкого Краснознаменного кавалерийского полка гвардии подполковник Генералов в наградных листах на представление Михаила Побызакова к наградам.
Последний наградной лист подписал командующий войсками 1-го Белорусского фронта маршал Советского Союза Георгий Константинович Жуков. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года за мужество и героизм, проявленные в Берлинской наступательной операции, гвардии старшина Побызаков Михаил Степанович был удостоен ордена Славы 1-й степени.
День Победы Михаил встретил в Берлине. После демобилизации вернулся в родное село. Потом переехал в Абакан.
За вклад в Победу в Великой Отечественной войне, большую общественную и военно-патриотическую работу постановлением Президиума Правительства Республики Хакасия от 3 июля 2013 года Михаил Степанович Побызаков был удостоен звания «Почетный гражданин Республики Хакасия». А 19 августа 2014 года Михаила Степановича не стало.
Имя полного кавалера ордена Славы Михаила Степановича Побызакова высечено на стеле Аллеи героев в Парке Победы столицы Хакасии.